天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共40分）
1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A． 3﹣4i B． 3+4i C． ﹣3﹣4i D． ﹣3+4i
2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．（3分）设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=x+2y的最小值为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）
A． 15 B． ﹣l5 C． ±l5 D． 10
5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）
A． 
B． π C． 2π D． 
6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A． 若m⊥α，n⊥m则n∥α B． 若α⊥β，β⊥γ则α∥β
C． 若m⊥β，n⊥β则m∥n D． 若m∥α，m∥β，则α∥β
7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=
，设an=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{an}是（）
A． 等差数列 B． 等比数列 C． 递增数列 D． 递减数列
8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD是正三角形，则
•
的值为（）
A． ﹣2 B． 2 C． 
D． 
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名．若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取名．
10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．
11．（5分）已知
=（3，﹣2）.
=（1，0），向量λ
与
﹣2
垂直，则实数λ的值为．
12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则A∩∁RB=．
13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．
14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则
的最大值为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（16分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间
上的值域．
16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知
•
=2，cosB=
，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=
，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
18．（16分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
的前n项和Sn．
19．（16分）已知数列{an}，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1﹣（n+3）Sn=0，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=4（
）2，求数列{（﹣1）nbn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）设Cn=2n（
﹣λ），若数列{Cn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：n＞m；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足
，并确定这样的x0的个数．
天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共40分）
1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A． 3﹣4i B． 3+4i C． ﹣3﹣4i D． ﹣3+4i
考点： 复数相等的充要条件．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．
解答： 解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z=
=
=
=3﹣4i，
故选：A．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．
分析： 根据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义可得答案．
解答： 解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，
“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，
故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，
故选：B
点评： 判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3．（3分）设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=x+2y的最小值为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
解答： 解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣
，
平移直线y=﹣
，由图象可知当直线y=﹣
经过点B（1，1）时，直线y=﹣
的截距最小，此时z最小．
此时z的最小值为z=1+2×1=3，
故选：B．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）
A． 15 B． ﹣l5 C． ±l5 D． 10
考点： 等比数列的性质；等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．
解答： 解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，
∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，
∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），
∴ab=15．
故选： A．
点评： 本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．
5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）
A． 
B． π C． 2π D． 
考点： 三角函数的最值．
专题： 计算题．
分析： 结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．
解答： 解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2
函数的周期T=2π
值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期
b﹣a＜2π
故选C
点评： 本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．
6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A． 若m⊥α，n⊥m则n∥α B． 若α⊥β，β⊥γ则α∥β
C． 若m⊥β，n⊥β则m∥n D． 若m∥α，m∥β，则α∥β
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 对选项逐一分析，根据空间线面关系，找出正确选项．
解答： 解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；
对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；
对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；
对于D，α，β有可能相交．
故选C．
点评： 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=
，设an=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{an}是（）
A． 等差数列 B． 等比数列 C． 递增数列 D． 递减数列
考点： 等比关系的确定．
专题： 计算题．
分析： 根据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，an进而发现数列{an}是等比数列
解答： 解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且
g（n）=
，
则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=bn+┉+b2+b+1．
a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，an=bn
故数列{an}是等比数列
点评： 本题主要考查等比关系的确定．属基础题．
8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD是正三角形，则
•
的值为（）
A． ﹣2 B． 2 C． 
D． 
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得
．
由于
，可得
=0．利用
•
=
=
即可得出．
解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
取AC的中点E，连接DE，BE．
∵A（0，3），C（4，0），∴
．
∵
，∴
=0．
∴
•
=
=
=
=8﹣
=
．
故选：C．
点评： 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名．若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取40名．
考点： 分层抽样方法．
专题： 概率与统计．
分析： 根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．
解答： 解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，
分层抽样抽取的比例为
=
，
∴2014-2015学年高一应抽取的学生数为800×
=40．
故答案为：40．
点评： 本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键．
10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为
．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．
解答： 由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为
，所以该几何体的体积为
．
故答案为：
．
点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键．
11．（5分）已知
=（3，﹣2）.
=（1，0），向量λ
与
﹣2
垂直，则实数λ的值为
．
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题： 计算题．
分析： 由题意得 （λ
）•（
﹣2
）=λ 
+（1﹣2λ）
﹣2
=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．
解答： 解：由题意得 （λ
）•（
﹣2
）=λ 
+（1﹣2λ）
﹣2
=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，
解得 λ=﹣
，
故答案为﹣
．
点评： 本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．
12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则A∩∁RB=（1，2]．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 分a﹣2为0与不为0两种情况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A，求出使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．
解答： 解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，
当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；
当a﹣2≠0，即a≠2时，根据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，
即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，
解得：a＜2，﹣2＜a＜2，
综上，a的范围为﹣2＜a≤2，
即A=（﹣2，2]，
使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a构成的B=（﹣∞，1），
∴∁RB=[1，+∞），
则A∩∁RB=（1，2]．
故答案为：（1，2]
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．
考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 计算题．
分析： 连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．
解答： 解：连接OC，BE，如下图所示：
则∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°
又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l
又∵AD⊥直线l
∴AD∥OC
故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°
∴AE=
AB=4
故答案为：4
点评： 本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．
14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则
的最大值为
．
考点： 等比数列的性质．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： 由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得
的最大值．
解答： 解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．
∴
．
∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．
∴
≤
=
∵
∴
≥4，
∴
的最大值为
=
．
故答案为：
．
点评： 本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（16分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间
上的值域．
考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=
可求出最小正周期，令
，求出x的值即可得到对称轴方程．
（2）先根据x的范围求出2x﹣
的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间
上的值域．
解答： 解：（1）∵
=
sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）
=
=
=
∴周期T=
由
∴函数图象的对称轴方程为
（2）∵
，∴
，
因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当
时，f（x）取最大值1，
又∵
，当
时，f（x）取最小值
，
所以函数f（x）在区间
上的值域为
．
点评： 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．
16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知
•
=2，cosB=
，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简
•
=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（Ⅰ）∵
•
=2，cosB=
，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB=
=
=
，
由正弦定理
=
得：sinC=
sinB=
×
=
，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC=
=
=
，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=
×
+
×
=
．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=
，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题： 计算题；证明题；综合题．
分析： （I）根据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；
（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线互相垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=
，GH=
，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG=
=
．最后由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=
．
（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出
=（1，1，0），
=（0，
，
），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为
=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，则
=
+
=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有
⋅
=0．所以
⋅
=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=
，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．
解答： 解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=
，
∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形
∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，
∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∵△PAB中，PE=2ED
∴AG=2GD，EG=
PA=
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．
∵OD⊥AC，GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，
∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
∴Rt△EGH中，HG=
OD=
BD=
，可得tan∠EHG=
=
．
由同角三角函数的关系，得cos∠EHG=
=
．
∴二面角D﹣AC﹣E的平面角的余弦值为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，
，
），
=（1，1，0），
=（0，
，
）﹣﹣﹣（9分）
设平面AEC的法向量
=（x，y，z），根据数量积为零，可得
，即：
，令y=1，得
=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
假设侧棱PC上存在一点F，且
=λ
，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，则
⋅
=0．
又∵
=
+
=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），
∴
⋅
=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=
，
所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
点评： 本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．
18．（16分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
的前n项和Sn．
考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
专题： 计算题．
分析： （I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；
（II）先求出数列{bn}的通项公式，然后求出﹣Sn﹣（﹣2Sn），即可求得的前n项和Sn．
解答： 解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴
或
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n
∴bn=
=﹣n•2n
∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n ①
∴﹣2sn=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1 ②
∴①﹣②得，
sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2
点评： 本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．
19．（16分）已知数列{an}，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1﹣（n+3）Sn=0，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=4（
）2，求数列{（﹣1）nbn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）设Cn=2n（
﹣λ），若数列{Cn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
考点： 数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得Sn，最后利用an=Sn﹣Sn﹣1求得答案．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中an，求得bn，设出Cn，分n为偶数和奇数时的Tn．
（Ⅲ）根据数列为递减数列，只需满足Cn+1﹣Cn＜0，求得
﹣
的最大值，即可求得λ的范围．
解答： 解：（Ⅰ）由已知
=
，且S1=a1=1，
当n≥2时，
Sn=S1•
•
…•
=1•
•
•…•
=
，
S1也适合，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=
，且a1也适合，
∴an=
．
（Ⅱ）bn=4（
）2=（n+1）2，设Cn=（﹣1）n（n+1）2，
当n为偶数时，∵Cn﹣1+Cn=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，
Tn=（C1+C2）+（C3+C4）+…（Cn﹣1+Cn）=5+9+…+（2n﹣1）=
=
，
当n为奇数时，Tn=Tn﹣1+Cn=
﹣（n+1）2=﹣
，且T1=C1=﹣4也适合．
综上得Tn=
（Ⅲ）∵Cn=2n（
﹣λ），使数列{Cn}是单调递减数列，
则Cn+1﹣Cn=2n（
﹣
﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，
则（
﹣
）max＜λ，
∵
﹣
=
=
，
当n=1或2时，（
﹣
）max=
，
∴λ＞
．
点评： 本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用an=Sn﹣Sn﹣1一定要a1对进行验证．
20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：n＞m；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足
，并确定这样的x0的个数．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 压轴题．
分析： （Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，
（Ⅱ）运用函数的极小值进行证明，
（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．
解答： （Ⅰ）解：因为f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，
∴﹣2＜t≤0，
（Ⅱ）证：因为函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（﹣2）=13e﹣2＜e，
所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），
从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），
即m＜n，
（Ⅲ）证：因为
，
∴
，
即为x02﹣x0=
，
令g（x）=x2﹣x﹣
，
从而问题转化为证明方程g（x）=
=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（﹣2）=6﹣
（t﹣1）2=﹣
，
g（t）=t（t﹣1）﹣
=
，
所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=﹣
＜0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足
，
且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．
点评： 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．
编辑者：天津家教中心（www.tjdxjj.com)